Caro lettore,
se stai leggendo questa lettera, il Fato ti ha concesso la grande opportunità di conoscere la più potente attività di magia e stregoneria che l'uomo sia in grado di padroneggiare: la Matematica.
Durante la mia breve esperienza (5 anni) da studioso universitario, ho spesso sentito la domanda «ma allora qual è la formula?», come se un matematico fosse un prestigiatore che tira fuori dal cilindro la soluzione per tutto. Mi prendo allora la libertà di sentirmi davvero un mago e presentarti la mia "Hogwarts", affinché non mi ritrovi in futuro a scrivere un romanzo dal titolo Lettera ad un matematico mai nato.
Una premessa è però fondamentale: i mostri del Pregiudizio e dei Luoghi Comuni ritengono che gli studiosi di matematica possano solo insegnare matematica. Probabilmente, se sei bravo abbastanza, ti avranno già consigliato di iscriverti alla nostra scuola avversaria, Ingegneria [1], che vanta diverse specializzazioni; come se un qualunque ramo di ingegneria fosse migliore della nostra facoltà, sia per la possibilità di trovare lavoro che per la formazione. Lascia che lo dica apertamente: sono tutte falsità. Semmai è vero il contrario, per il semplice ed evidente fatto che in tutte le ingegnerie si studiano le nostre materie. E non solo in ingegneria: incontrerai la matematica se ti iscriverai in Medicina, Biologia, Chimica, Fisica, Economia, Psicologia, Filosofia, Informatica... E, probabilmente, pure se ti iscrivi al conservatorio! Perché la matematica è davvero ovunque e rappresenta per l'essere umano il più affidabile ed efficace strumento per capire (razionalmente e senza ambiguità) la realtà e la vita. Ed è per questo che merita a tutti gli effetti l'appellativo di "Regina delle scienze".
Cosa si studia in Matematica?
Le vie della Matematica sono infinite e misteriose e sarebbe impossibile esibirle tutte. Si può però dare una presentazione per estensione, piuttosto che in profondità.
Mathematica tota est divisa in partes novem:
MAT/01 LOGICA MATEMATICA: la Logica, è risaputo, è l'espressione più alta della parte razionale dell'uomo; ciò che gli antichi greci chiamavano Lógos ed i latini Ratio. Radice comune a tutte le scienze e le lingue, diventa matematica quando fornisce gli strumenti ed il linguaggio di cui la Matematica stessa fa uso. Ha tra i più famosi protagonisti i connettivi logici ¬, ∨, ∧, ∀, ∃, che combinati insieme esprimono sinteticamente i teoremi e le definizioni. La ricchezza del linguaggio matematico risiede anche nella povertà di simboli usati! Imparerai che il concetto di Verità dipende dall'ambiente in cui ti trovi, dai principi da cui parti, dalle regole che seguirai: che non esiste la Verità assoluta, ma esistono tante verità relative.
MAT/02 ALGEBRA: principessa indiscussa delle scienze arcane, l'Algebra ricerca le strutture fondamentali che si possono incontrare in matematica. Si prenderà confidenza con concetti come gruppo, anello, campo, tutte strutture definite per astrazione a partire da insiemi dotati di operazioni, come (Z, +), (Z, +, ∙), (R, +, ∙). Perché ci sono affinità, ad esempio, tra (Z, +, ∙) e l'insieme dei polinomi con la somma ed il prodotto dei polinomi. Imparerai a padroneggiare strumenti potentissimi e generali come le relazioni, delle quali ne esistono molte specie: le relazioni di equivalenza, le relazioni d'ordine, le funzioni... Scoprirai anche che 2 + 2 non fa sempre 4, a meno che con i simboli 2 e 4 non indichiamo i numeri due e quattro e con + l'usuale operazione di somma.
MAT/03 TOPOLOGIA E GEOMETRIA: con la Topologia (studio dei luoghi) e la Geometria si apriranno varchi spaziali e sarai proiettato in altri mondi, dove le cose non funzionano esattamente come siamo abituati a credere. Tutto ciò sembrerà assurdo, ma per capire di più del nostro Universo abbiamo bisogno di visitarne altri: pensa che esistono ben sette spazi topologici! Si studierà il concetto di dimensione (in più accezioni), di intorno (nel senso di vicinanza) di un punto, di norma (che vuol dire che x è più lungo di y?) e molto altro. Tutto ciò partendo da spazi e concetti comuni e generalizzando il più possibile, per conoscere la nostra realtà da un punto di vista esterno.
MAT/04 FONDAMENTI DELLA MATEMATICA: ci prenderemo pure una pausa durante i nostri viaggi extra-galattici e torneremo sulla Terra, viaggiando questa volta nel tempo ed incontrando le più grandi menti del passato, quali Euclide, Cantor ed Hilbert, che hanno rivoluzionato la Matematica ed i concetti di infinito e di verità. Vedremo come si è evoluto il pensiero scientifico e matematico nel corso dei secoli e quali sono stati i "cambiamenti di stile". Supportati dal settore della Logica, studieremo i sistemi formali e la teoria degli insiemi, concetti fondamentali della nuova Matematica, che sono stati formulati ed espressi solo nell'ultimo secolo ed hanno scosso le fondamenta stesse della nostra disciplina. Per ricordarci che non si finisce mai di rivoluzionare le nostre teorie e che anche noi possiamo essere protagonisti.
MAT/05 ANALISI MATEMATICA: tra le Gòrgoni più temute tra i profani, l'Analisi è - al pari delle sorelle Algebra e Geometria - essenziale per formalizzare i fondamenti filosofici della Matematica come infinito ed infinitesimo, continuo e discreto, equilibrio e movimento. Capiremo cosa succede all'infinito a certe funzioni, anche se non possiamo arrivarci. Studieremo dei modelli tanto potenti (limiti, derivate, integrali...) che se ne fa largo uso all'interno della Matematica stessa ed in scienze affini come la Fisica, che ha contribuito alla nascita ed allo sviluppo dell'Analisi, in un simbiotico intreccio grazie al quale abbiamo conquistato vette prima irraggiungibili.
Sono Algebra, Geometria ed Analisi che insieme forniscono i concetti di base comuni a tutta la Matematica e, in particolare, ai settori che seguiranno.
MAT/06 PROBABILITÀ E STATISTICA: anche il Cháos è soggetto a delle regole: studiando Probabilità e Statistica si impara a dominarne le forze misteriose. Con strumenti propri dell'Analisi, daremo le definizioni formali di spazio di probabilità, variabile aleatoria (una quantità che dipende dal caso), valore atteso (o "speranza matematica"), varianza e covarianza. Tutti concetti utilizzati dalla Statistica per le più svariate applicazioni in sociologia, biologia, sistemi di controllo, meteorologia... Tra i vari altri settori in cui la Statistica gioca un ruolo fondamentale, troviamo quelli della finanza e delle assicurazioni: imparerai che non sempre chi studia matematica lo fa per interesse prettamente scientifico e che la nostra pura ed onesta disciplina può essere usata per ingannare chi di matematica non ne capisce nulla. [2] Anche in matematica alcuni studiosi intraprendono vie sinistre, al servizio delle forze del Male.
MAT/07 FISICA MATEMATICA: in principio era il Cháos, poi gli elementi si separarono e si regolarono secondo le leggi della Fisica. La Fisica matematica, il connubio più nobile tra le scienze, orgoglio della nostra scuola, ricerca dei modelli che spieghino «come vadia il cielo» (Galileo Galilei). Ritroverai risultati noti, come le leggi di Keplero, studiandone i modelli astratti alla base (come le equazioni differenziali). Ammettilo: non avresti mai detto che le orbite dei pianeti sono ellittiche, o anche tu saresti stato attratto ed ingannato dalla simmetria e dalla perfezione della circonferenza? Non meravigliarti mai abbastanza, perché per qualche strano ed inspiegabile motivo la nostra logica si sposa con la logica del mondo, sicché si possano trovare semplici relazioni come la legge di gravitazione universale F=-G(Mm/r^2)r ed affermare che «le cose tutte quante hanno ordine tra loro» [3].
MAT/08 ANALISI NUMERICA: ci sono problemi che non ammettono soluzioni, sicché non rappresentano più un problema. A volte, invece, le soluzioni esistono; altre volte, se esistono, sono anche uniche. Ma quasi mai sappiamo trovare esattamente tali soluzioni, che risiedono in chissà quale "Iperuranio"; fortunatamente, però, può essere sufficiente trovare delle soluzioni approssimate. È qui che entra in scena l'Analisi numerica: forte degli strumenti dell'Analisi (come le successioni e l'analisi di Fourier) e dell'Algebra lineare (come le ubiquitarie matrici), si studieranno metodi per avvicinarsi alle soluzioni vere, a meno di un errore tollerabile (il famoso ε), utilizzando i fidati computer che faranno calcoli enormi e noiosi al posto nostro. Sarà però compito nostro controllare la validità dei risultati elaborati.
MAT/09 RICERCA OPERATIVA: quando invece i problemi presentano dati in ingresso molto grandi [4], accorrerà in nostro aiuto la Ricerca operativa: in questo settore si inventano modelli matematici per formalizzare problemi del mondo reale, di ambito economico, logistico, militare. Ovunque ci sia da fare una scelta (teoria dei giochi) ed ottimizzare una funzione (si pensi ad un profitto, ad esempio), faremo appello a tale disciplina. Si incontrerà la bellissima nozione di grafo, tanto generale che si può applicare ai problemi più disparati e di cui l'informatica fa uso ovunque, che costituisce un esempio di matematica discreta (o combinatoria), propria dell'Algebra e distaccata dal continuum dell'Analisi, che fornisce numerose applicazioni.
Anche se, come vedi, la Matematica è ormai molto variegata, tieni a mente che i settori sono tutti collegati tra loro. Non trascurarne nessuno, perché qualsiasi nozione ti sarà utile prima o poi e rivedere lo stesso concetto da punti di vista differenti ti aiuterà a capirlo ancora più profondamente.
È doveroso inoltre presentare la figlia prediletta della Logica: l'Informatica. La scienza degli elaboratori, di ciò che si può calcolare con una macchina, è nata in risposta ad uno dei 23 problemi formulati da Hilbert e presentati l'8 Agosto 1900 al Congresso Nazionale dei Matematici presso Parigi.
Ritengo che la nascita dell'Informatica sia il più affascinante racconto di tutta la storia del pensiero scientifico. Dal filosofo Aristotele al genio di Alan Turing, passando per il teologo Raimondo Lullo, i matematici George Boole, Charles Babbage, David Hilberg e John von Neumann, l'ingegnere Claude Shannon, i logici Kurt Gödel, Alonzo Church e Stephen Kleen. Una conquista che è stata possibile solo grazie al contributo di tutti i settori scientifici; e non a caso assume un ruolo centrale lo studio dei linguaggi di programmazione in facoltà come Matematica, Informatica, Ingegneria, Fisica.
Conclusioni
Finora ho esaltato con gioia la mia facoltà; tuttavia è bene essere onesti fino in fondo e non commettere l'immorale atto di spacciare i miei studi come i più adatti alla tua vita, come avviene con la pubblicità ed i prodotti del mercato.
Sappi che, se deciderai di iscriverti ad una facoltà come Matematica (o Fisica), dovrai armarti di pazienza! Saranno necessari:
un interesse quasi autolesionista per l'astratto (che altrimenti peserebbe più di un macigno); a volte potresti impiegare anche un'ora o più per capire un solo rigo e potresti inveire, indipendentemente dal tuo credo, contro le forze divine;
la voglia di rivedere le proprie convinzioni, anche le più banali. Il cammino di uno scienziato non assomiglia affatto ad una retta e non c'è un verso di percorrenza privilegiato. Spesso dovrai tornare indietro e riscoprire concetti già visti in precedenza, che forse non avevi capito davvero o che avrai dimenticato. Ricorda sempre che il dubbio è condizione necessaria per la conoscenza.
Un ultimo monito, ma non meno importante, è il seguente: non trascurare mai il lato artistico della vita. La Scienza non ne è certo sprovvista (contrariamente a quanto si pensa) e la bellezza formale della Matematica non deve distrarti dalla bellezza delle altre discipline; riserva parte del tuo tempo per stupirti delle grandiose costruzioni delle varie civiltà, una tela che diventa un quadro, un blocco di marmo che diventa una statua, parole che diventano poesia, la perfezione di una melodia, l'espressività di una lingua. Nutri la tua anima con tutte le forme creative dell'Uomo, di cui sarebbe troppo lunga la lista. [5] Sii protagonista della tua vita e prendi parte al potente spettacolo della Natura: che la magia della Matematica ti apra alla magia del mondo.
Bene, con questo credo di aver detto proprio tutto. È stata una lunga, e spero piacevole, presentazione. Ed anche se deciderai di non iscriverti alla mia facoltà, spero comunque di averti indotto a nuove riflessioni per migliorare te stesso e chi ti sta attorno.
Fiducioso che saprai cogliere i miei suggerimenti, ti auguro tanta fortuna per il tuo futuro.
Francesco
NOTE.
[1]Da matematico, voglio fomentare il famigerato attrito tra i diversi settori scientifici, ma da uomo di Scienza so che la nostra forza è la comunione tra le scienze.
[2]Uno stereotipo che, come ogni stereotipo che si rispetti, cela un fondo di verità.
[3]Dante Alighieri, Paradiso I, vv. 104-105.
[4]Per un matematico il termine "grande" vuol dire, scherzosamente, qualcosa che non sia 0 o 1!
[5]Μαθηματικός (mathematikós), d'altronde, vuol dire "incline ad apprendere".